Question

在△ABC中，A=，BC=2，设内角B=x，△ABC的面积为y，
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A与B的度数，利用内角和定理表示出C，求出x的范围即为y=f（x）的定义域，利用正弦定理表示出AB，利用三角形的面积公式列出函数解析式即可；
（2）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出y的最大值．
解答：解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，
∵A=，B=x，B＞0，C＞0，
∴C=-x，0＜x＜，即函数y=f（x）的定义域为（0，）；
由正弦定理=，得AB=sinC=4sin（-x），
∴y=AB•BCsinB=4sinxsin（-x）（0＜x＜）；
（2）y=4sinxsin（-x）=4sinx（cosx+sinx）=6sinxcosx+2sin²x=3sin2x-cos2x+=2sin（2x-）+（-＜2x-＜），
当2x-=，即x=时，y取最大值3．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．