Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₅＞0，a₈+a₉＜0，则使得an+

Sn

n

＜0的最小的n为（　　）

• A、10
• B、11
• C、12
• D、13

Answer 1

分析：由已知数据可得a₁+7d＞0，①，2a₁+15d＞0，②和d＜0，由不等式的性质可得

a1

d

的范围，而要满足的式子可化为2a₁+

3(n-1)

2

d＜0，可得n＞1-

4a1

3d

，
由不等式的性质结合

a1

d

的范围可得．

解答：解：设等差数列{a_n}的首项和公差分别为a₁和d，
则可得S₁₅=15a₈=15（a₁+7d）＞0，解得a₁+7d＞0，①
又∵a₈+a₉＜0，∴2a₁+15d＞0，②
又∵a₈=＞0，a₈+a₉＜0，∴a₉＜0，∴d＜0，
∴由①可得

a1

d

＜-7，由②可得

a1

d

＞-

15

2

，
故-

15

2

＜

a1

d

＜-7，
而an+

Sn

n

=a₁+（n-1）d+a₁+

n-1

2

d=2a₁+

3(n-1)

2

d，
令2a₁+

3(n-1)

2

d＜0可解得n＞1-

4a1

3d

，
∵-

15

2

＜

a1

d

＜-7，∴7＜-

a1

d

＜

15

2

，
∴

28

3

＜-

4a1

3d

＜10，∴

31

3

＜1-

4a1

3d

＜11
∴使得an+

Sn

n

＜0的最小的n为11
故选：B

点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及不等式的性质的应用，属中档题．