Question

如果对于任意一个三角形，只要它的三边长都在函数的定义域内，则 也是某个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”.现有下列五个函数： ①；②；③；④；⑤.
则其中是 “保三角形函数”的有                  .（写出所有正确的序号）

Answer 1

①④

试题分析：满足三角形的条件是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
因为是单调函数，且是自变量x的2倍，所以当三边长都在函数的定义域内，2a，2b，2c，也极值函数定义域内，且满足构成三角形的条件，所以①是；
②中，当三边长都在函数的定义域内，而虽在函数定义域内，由于函数为增函数，且增大幅度的不同，不一定满足构成三角形的条件，所以不是。
③中取分别为3，4，5，则函数值分别为9,16,25，不能构成三角形，不是
④f(x)＝ 是保三角形函数.
对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因为(＋)²＝a＋2＋b＞c＋2＞()²，所以＋＞.
同理可以证明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数.
⑤在定义域内不单调，很明显看出来，不是。综上知是“保三角形函数”的有①④。
点评：难题，本题是新定义问题，作为填空题，可以通过举反例排除，集合函数图象“猜测”判断。作为解析该题，则为难题。