Question

已知数列{a_n}的前n和为S_n，其中且
（1）求a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意又，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
解答：解：（1）
又，则，类似地求得
（2）由，，…
猜得：
以数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由（1）可知等式成立；
②假设当n=k时猜想成立，即
那么，当n=k+1时，由题设得，
所以S_k=k（2k-1）a_k=k（2k-1）=
S_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1a_k+1=S_K+1-S_K=（k+1）（2k+1）a_k+1-
因此，
所以=
这就证明了当n=k+1时命题成立．
由①、②可知命题对任何n∈N^*都成立．
点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．