题目内容

若对任意实数x，cos²x+2ksinx-2k-2＜0恒成立，则实数k的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
k＞-1

B
分析：根据同角三角函数的关系，我们可将不等式转化为2k＞ $\text{[math]}$ 恒成立，求出 $\text{[math]}$ 的最大值，即可得到答案．
解答：∵cos²x+2ksinx-2k-2=1-sin²x+2ksinx-2k-2=-sin²x+2ksinx-2k-1=2k（sinx-1）-（sin²x+1）＜0恒成立
即2k（sinx-1）＜（sin²x+1）恒成立
当sinx-1=0时，显然成立
当sinx-1≠0时，则sinx-1＜0
故2k＞ $\text{[math]}$ 恒成立
令t=sinx，y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （-1≤t＜1）
则y′= $\text{[math]}$
令y′=0，则t²-2t-1=0，
解得t=1- $\text{[math]}$ ，或t=1+ $\text{[math]}$ （舍去）
由t∈[-1，1- $\text{[math]}$ ）时，y′＞0，t∈（1- $\text{[math]}$ ，1）时，y′＜0，
∴y= $\text{[math]}$ （-1≤t＜1）在[-1，1- $\text{[math]}$ ）上递增；在（1- $\text{[math]}$ ，1）上递减
即y_max=y|_t=1 $\text{[math]}$ =2-2 $\text{[math]}$
则2k＞2-2 $\text{[math]}$
则k＞1- $\text{[math]}$
故选B
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，将其转化为最值问题是解答的关键．