Question

f（x）=

3

sin（wx+?）(w＞0，|?|＜

π

2

)，已知f（x）周期为8，对称轴为

10

3

（1）求f（x）解析式
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）关于直线x=1对称，若对任意实数x∈[-

8

3

，-2]恒有|g（x）-m|＜2成立，求m取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得周期T=8，从而可求ω；再由对称轴为x=

10

3

，|φ|＜

π

2

，可求得φ，从而可求f（x）解析式；
（2）函数y=g（x）与y=f（x）关于直线x=1对称⇒g（x）=f（2-x）=

3

sin（

π

6

-

πx

4

），x∈[-

8

3

，-2]⇒

π

6

-

πx

4

∈[

2π

3

，

5π

6

]，从而可得g（x）∈[

3

2

，

3

2

]，继而可得m的范围．

解答：解：（1）由已知得周期T=8，则ω=

π

4

，
又对称轴x=

10

3

，则f（x）=

3

sin（

πx

4

+φ），
由对称轴x=

10

3

得，

πx

4

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ-

π

3

（k∈Z），
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

3

，
∴f（x）=

3

sin（

πx

4

-

π

3

）…4分
（2）函数y=g（x）与y=f（x）关于直线x=1对称，则
g（x）=f（2-x）=

3

sin（

π

6

-

πx

4

）…6分
∵x∈[-

8

3

，-2]，
∴

π

6

-

πx

4

∈[

2π

3

，

5π

6

]，
∴

1

2

≤sin（

π

6

-

πx

4

）≤

3

2

，
∴

3

2

≤

3

sin（

π

6

-

πx

4

）≤

3

2

…8分
|g（x）-m|＜2恒成立，则有g（x）-2＜m＜g（x）+2，
∵（g（x）-2）_max=-

1

2

，（g（x）+2）_min=

3

2

+2…10分
∴m∈（-

1

2

，

3

2

+2）…12分

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与最值，考查三角函数的综合应用，属于难题．