Question

如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=

2

，点E、F分别是边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把△ADF和△EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P．
（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面PCF；
（Ⅱ） 设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明平面PCE⊥平面PCF，只需证明PE⊥平面PFC，即证明PE⊥PF； 
 （Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用sinθ=|cos＜

.

MN

，

PF

＞|可求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵PE=PF=1，EF=

2

∴PE⊥PF
∵PE⊥PC，PC∩PF=P
∴PE⊥平面PFC
∵PE?平面PEC
∴平面PCE⊥平面PCF；   
 （Ⅱ）解：如图，建立坐标系，则
A（

2

2

，-1，0），E（

2

2

，0，0），N（0，

1

2

，0），P（0，0，

2

2

），C（-

2

2

，1，0），F（-

2

2

，0，0），M（

2

4

，-

1

2

，

2

4

）

PF

=(-

2

2

，0，-

2

2

)，

MN

=(-

2

4

，1，-

2

4

)，
∵

PA

=(

2

2

，-1，-

2

2

)，

AE

=(0，1，0)
∴

PF

•

PA

=-1+1=0，

PF

•

AE

=0
∴

PF

是平面PAE的法向量，
设MN与平面PAE 所成的角为θ
∴sinθ=|cos＜

.

MN

，

PF

＞|=

MN • PF

| MN || PF |

=

5

5

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是正确运用面面垂直的判定，掌握向量法求线面角．