Question

等差数列{b_n}的首项为1，公差为2，数列{a_n}与{b_n}且满足关系式（n∈N^*），奇函数f（x）定义域为R，当x＜0时，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若，求p+q必须满足的条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）当x=0时，f（0）=-f（-0）求出f（0）的值，设x＞0则-x＜0，将其代入小于0的解析式，根据奇函数的性质求出大于0的解析式；
（2）当n=1时，a₁=b₁=1，当n≥2时，利用递推关系作差即可即可求出a_n的通项公式；
（3）根据函数的定义域为R求出p的范围，由于a_n＞0，，所以3^3q＞1，即q＞0，从而求出p+q必须满足的条件．
解答：解：（1）当x=0时，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0当x＞0时，
所以f（x）=

（2）当n=1时，a₁=b₁=1；
当n≥2时，由于，所以
相减计算得a_n=3n-2
检验得a_n=3n-2（n∈N^*）
（3）由于f（x）=的定义域为R，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0所以
由于，所以3^3q＞1，即q＞0，
因此p+q＞1．
点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，以及函数奇偶性以及数列的极限等有关知识，属于中档题．