Question

等差数列{b_n}的首项为1，公差为2，数列{a_n}与{b_n}且满足关系式bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N^*），奇函数f（x）定义域为R，当x＜0时，f(x)=-

qx

qx+p-1

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若q＞0，且

lim

n→∞

f(an)=0，求证p+q＞2．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的定义易得f（0）=0，当x＞0时，据 f（x）=-f（-x）求出解析式，即得f（x）在R上的解析式．
（2）根据条件求出数列{b_n}的通项公式 b_n=2n-1，把

n(n+1)

2

bn=a1+2a2+3a3+…+nan 和

(n-1)n

2

bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1相减可得a_n=3n-2．
（3）根据f（x） 的定义域为R，所以p-1≥0，即p≥1； 由于a_n＞0，及

lim

n→∞

f(an)=0，可得 q³＞1，即q＞1，从而得到 p+q＞2．

解答：解：（1）当x=0时，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0，
当x＞0时，f(x)=-f(-x)=

qx

q-x+p-1

=

1

(p-1)•qx+1

，
所以，f（x）=

- qx qx+p-1       x＜0 0                    x=0 1 (p-1)•qx+1     x＞0

．
（2）当n=1时，a₁=b₁=1；由题意可得 b_n=1+（n-1）2=2n-1．
当n≥2时，由于

n(n+1)

2

bn=a1+2a2+3a3+…+nan，
所以

(n-1)n

2

bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，
相减计算得a_n=3n-2，
检验得a_n=3n-2（n∈N^*）．
（3）由于f（x）=

- qx qx+p-1      x＜0 0                    x=0 1 (p-1)•qx+1    x＞0

 的定义域为R，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0，
所以

lim

n→∞

f(an) =

lim

n→∞

1

(p-1)•q-2 (q3)n+1

=

1         0＜q3＜1 1 p      q3 =1 0         q3＞1

．

由于

lim

n→∞

f(an)=0，所以q³＞1，即q＞1，因此，p+q＞2．

点评：本题考查等差数列的通项公式，数列极限的运算法则，体现了分类讨论的数学思想．