Question

已知函数f（x）=x²+ax-（a+1）lnx（a＜-1），
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求出f（x）的极值；
（Ⅲ）若对任意的x∈[1，-a]，有|x·f′（x）|≤2a²恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x+a-，
因为f（x）在x=2处的切线与x轴平行，则f′（2）=0，得a=-3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，
则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
则当x=1时，f（x）有极大值，
当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-4+2ln2。
（Ⅲ）令g（x）=x·f′（x）=x²+ax-（a+1），x∈[1，-a]，
依题意，x∈[1，-a]时，-2a²≤g（x）≤2a²恒成立；
即g（x）_min≥-2a²且g（x）_max≤2a²，而g（x）的对称轴为，
（ⅰ）当时，即当-2＜a＜-1时，
g（x）_min=g（1）=0＞-2a²成立，g（x）_max=g（-a）=-a-1≤2a²也成立；
故-2＜a＜-1符合题意；
（ⅱ）当时，即a≤-2时，
由，解得（舍），
g（x）_max=g（-a）=-a-1≤2a²成立或g（x）_max=g（1）=0≤2a²也成立，故a≤-2符合题意；
综合（ⅰ）（ⅱ）知a＜-1都符合题意。