Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①， ②.其中，是与无关的常数.
（Ⅰ）若{}是等差数列，是其前项的和，，，证明：;
（Ⅱ）设数列{}的通项为，且，求的取值范围；
（Ⅲ）设数列{}的各项均为正整数，且.证明.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）M≥7（Ⅲ）见解析

解：（Ⅰ）设等差数列{}的公差是d，则，解得，
所以         (2分)
由=－1＜0
得适合条件①；
又所以当n=4或5时，取得最大值20，即≤20，适合条件②
综上，                 （4分）
（Ⅱ）因为,所以当n≥3时，，此时数列{b_n}单调递减；当n=1，2时，，即b₁＜b₂＜b₃，因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7
所以M≥7              （8分）
（Ⅲ） 假设存在正整数k，使得成立
由数列{}的各项均为正整数，可得，即
因为，所以
由
因为
……………………依次类推，可得
设
这显然与数列{}的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意n∈N^*,都有成立.          ( 14分)