Question

已知函数f（x）=x²+ax+3．
（Ⅰ）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对一切a∈[-3，3]，f（x）≥a恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）≥a对x∈[-2，2]恒成立，令g（x）=f（x）-a=x²+ax+3-a，即求g（x）_min≥0，根据二次函数g（x）的对称轴为x=-

a

2

与区间[-2，2]的位置关系，可以分成三种情况讨论，利用开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，即可得到g（x）_min，从而得到实数a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）≥a对一切a∈[-3，3]恒成立，即x²+ax+3-a≥0对一切a∈[-3，3]恒成立，令h（a）=（x-1）a+x²+3，利用一次函数的性质，列出关于x的不等关系式组，求解不等式组，即可得到实数x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+ax+3，
∴f（x）≥a对x∈[-2，2]恒成立，即f（x）-a≥0对x∈[-2，2]恒成立，
令g（x）=x²+ax+3-a，
∴g（x）_min≥0，
g（x）的对称轴为x=-

a

2

，
根据对称轴与区间[-2，2]的位置关系，分以下三种情况讨论g（x）_min：
①当-

a

2

≤-2，即a≥4时，
∵g（x）在[-2，2]上单调递增，
∴g（x）_min=g（-2）=7-3a，
∴

a≥4 7-3a≥0

，
∴a无解；
②当-

a

2

≥2时，即a≤-4时，
∵g（x）在[-2，2]上单调递减，
∴g（x）_min=g（2）=7+a，
∴

a≤-4 7+a≥0

，解得-7≤a≤-4，
∴实数a的取值范围为-7≤a≤-4；
③当-2＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜4时，
∴g(x)min=g(-

a

2

)=-

a2

4

-a+3，
∴

-4＜a＜4 - a2 4 -a+3≥0

，解得-4＜a≤2，
∴实数a的取值范围为-4＜a≤2．
综合①②③可得，实数a的取值范围是-7≤a≤2；
（Ⅱ） f（x）≥a对一切a∈[-3，3]恒成立，且f（x）=x²+ax+3，
∴x²+ax+3-a≥0对一切a∈[-3，3]恒成立，
令h（a）=（x-1）a+x²+3，
要使h（a）≥0在区间[-3，3]恒成立，
则

h(-3)≥0 h(3)≥0

，即

x2-3x+6≥0 x2+3x≥0

，解得x≥0或x≤-3，
∴实数x的取值范围是（-∞，-3]∪[0，+∞）．

点评：本题考查了函数的恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值问题．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了最值法求解，即求二次函数的最值．二次函数在闭区间上的最值，要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系进行求解．属于中档题．