Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA₁上的点，二面角M-DE-A为30°．
（I）证明：A₁B₁⊥C₁D；
（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．

Answer 1

分析：（I）连接CD，根据三垂线定理可得AB⊥C₁D，而A₁B₁平行AB，从而A₁B₁⊥C₁D；
（II）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，根据定义可知∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，在Rt△GAF中，∠GFA=30°，求出A到平面MDE的距离，再根据线面平行可知C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等．

解答：解：（I）证明：连接CD，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，∴CD为C₁D在平面ABC内的射影．∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴AB⊥CD，∴AB⊥C₁D∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥C₁D


（II）解：过点A作CE的平行线，
交ED的延长线于F，连接MF∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC
又∵AF∥CE，CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影∴MF⊥DE∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA=30°
在Rt△MAF中，AF=

1

2

BC=

a

2

，∠MFA=30°，∴AM=

3

6

a
作AG⊥MF，垂足为G，∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∵平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，∠GFA=30°，AF=

a

2

，∴AG=

a

4

，即A到平面MDE的距离为

a

4

∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为

a

4

．

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．