Question

若数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），则

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

等于（　　）

• A、

  n

  2n+1

• B、

  4n

  2n+1

• C、

  n

  2n-1

• D、

  1

  n+2

Answer 1

分析：利用数列的前n项和求出数列的通项；求出

1

anan+1

，并将其裂成两项的差；将所求的和的各项写出两项的差，依次消项即可求出答案．

解答：解：当n=1时，a₁=s₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
总之a_n=2n-1
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

故选A

点评：本题考查由数列前n项和求通项，注意验第一项、考查数列的求和方法：裂项法．