Question

在三棱锥P-ABC中，AC=a，BC=2a，AB=a，侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，点P到平面ABC的距离为．
（I ）求二面角P-AC-B的大小：
（II）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据勾股定理得△ABC是∠BAC=90°的直角三角形，点P在平面ABC内的射影是Pt△ABC的外心，即斜边BC的中点E，取AC的中点D，连接PD，DE，PE，则∠PDE为二面角P-AC-B的平面角，最后在在Rt△PED中求出此角即可；
（II）设点B到平面PAC的距离为h，则由V_P-ABC=V_B-APC建立等式求出h，从而求出点B到平面PAC的距离．
解答：解：（I）∵，∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是∠BAC=90°的直角三角形，
∵侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，
∴点P在平面ABC内的射影是Pt△ABC的外心，即斜边BC的中点E．
取AC的中点D，连接PD，DE，PE，则PE=，DE∥AB，
∴
∵PE⊥平面ABC，∴DE是PD在平面ABC内的射影．∵AC⊥DE，∴AC⊥PD．
∴∠PDE为二面角P-AC-B的平面角．
在Rt△PED中，．
∴，故二面角P-AC-B的大小为．
（II）∵AC=a，PD=，∴．
设点B到平面PAC的距离为h，则由V_P-ABC=V_B-APC得
．
解方程得，∴点B到平面PAC的距离等于．
点评：本题主要考查了二面角平面角的度量，以及点到平面的距离，同时考查了等体积法等有关知识，考查空间想象能力，属于中档题．