Question

已知函数f （x）=2asin²x+2sinxcosx-a的图象过点（0，-

3

）．
（1）求常数a；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f （x） 的值域．

Answer 1

分析：（1）只需将点（0，-

3

）代入函数表达式，利用0弧度角的三角函数值即可解得a的值；
（2）先利用两角差的正弦公式和特殊角三角函数值，将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函数的图象求f（x）的值域即可

解答：解：（1）把点（0，-

3

）代入函数表达式，得-

3

=2asin²0+2sin0cos0-a，化简得a=

3

（2）f（x）=2

3

sin²x+2sin2x-

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

）
因为0≤x≤

π

2

，所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

所以-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
所以-

3

≤2sin（2x-

π

3

）≤2，
故f（x）的值域为[-

3

，2]

点评：本题考查了三角变换公式的应用，y=Asin（ωx+φ）型的函数的图象和性质，特殊角的三角函数值