题目内容

设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）已知数列{bn}是等差数列，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{anbn}的前n项和Tn．
分析：（1）利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式可得bn，利用“错位相减法”即可得出．
解答：解：（1）由题意知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an=3n-1，
∴Sn=
1-3n
1-3
=
3n-1
2
．
（2）设数列{bn}的公差为d，b1=a2=3，b3=S3=13，
∴b3-b1=10=2d，解得公差d=5．
∴bn=5n-2，
∴anbn=(5n-2)3n-1．
∵Tn=3•3°+8•31+13•32+…+(5n-2)3n-1①
3Tn=3×3+8×32+…+（5n-7）•3n-1+（5n-2）•3n②
由①-②得：-2Tn=3•3°+5•(31+32+…+3n-1)-(5n-2)•3n，
∴Tn=-
3
2
+
15
4
(1-3n-1)+
5n-2
2
•3n=
9
4
+3n•(
10n-9
4
)．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

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