Question

已知数列{a_n}中，a1=1，an+1=

2an

2+an

(n∈N*)
（1）求 a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由 a1=1，an+1=

2an

2+an

(n∈N*)，把n=1，2，3代入递推公式可求a₂，a₃，a₄
（2）由 an+1=

2an

2+an

(n∈N*)可得 

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

(n∈N*)，结合等差数列的通项可先求

1

an

，进而可求a_n

解答：解：（1）因为 a1=1，an+1=

2an

2+an

(n∈N*)
所以  a2=

2a1

2+a1

=

2

3

，a3=

2a2

2+a2

=

1

2

，a4=

2a3

2+a3

=

2

5

…（4分）
（2）解：因为 an+1=

2an

2+an

(n∈N*)
所以 

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

(n∈N*)…（8分）
又  

1

a1

=1故 {

1

an

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列…（10分）
所以  

1

an

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，
因此 an=

2

n+1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，由数列的递推公式利用构造特殊数列 （等差数列、等比数列）求解数列的通项公式，属于数列基本方法的简单应用．