题目内容

已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan=Sn+2n（n-1）（n∈N*）．
（I）求数列an的通项公式；
（II）设Tn=
a1+1
22
+
a2+1
23
+…+
an+1
2n+1
，求Tn的值．
（I）因为Sn=nan-2（n-1）n，
所以当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-2（n-2）（n-1）．an=Sn-Sn-1=nan-2（n-1）n-（n-1）an-1+2（n-2）（n-1），（2分）
即an-an-1=4（4分）
所以数列an是首项a1=1，公差d=4的等差数列，且an=1+（n-1）4=4n-3（n∈N*）．（6分）
（II）因为
an+1
2n+1
=
4n-3+1
2n+1
=
2n-1
2n
，
所以Tn=
a1+1
22
+
a2+1
23
+…+
an+1
2n+1
=
1
2
+
3
22
+
5
23
++
2n-1
2n
．①（8分）
1
2
Tn=
1
22
+
3
23
+
5
24
+…+
2n-3
2n
+
2n-1
2n+1
．②..（10分）
①-②得
1
2
Tn=
1
2
+
1
2
+
1
22
++
1
2n-1
-
2n-1
2n+1
=
1
2
+
1
2
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
-
2n-1
2n+1
=
3
2
-
1
2n-1
-
2n-1
2n+1
=
3
2
-
2n+3
2n+1
．
所以Tn=3-
2n+3
2n
（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N），
（1）试计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出an的表达式．
已知数列an的前n项和Sn=
32
(an-1)，n∈N+．
（1）求an的通项公式；
（2）设n∈N+，集合An={y|y=ai，i≤n，i∈N+}，B={y|y=4m+1，m∈N+}．现在集合An中随机取一个元素y，记y∈B的概率为p（n），求p（n）的表达式．
已知数列
an
的前n项和为Sn，且Sn=1-an （n∈N*）
（I ）求数列
an
的通项公式；
（Ⅱ）已知数列
bn
的通项公式bn=2n-1，记cn=anbn，求数列
cn
的前n项和Tn．
已知数列an}的前n项和为sn，满足（p-1）sn=p2-an，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求证：数列{an}为等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）若存在正整数M，使得当n≥M时，a1a4a7…a3n-2＞a36恒成立，求出M的最小值；
（3）当p=2时，数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x，y均为整数，求出x，y的值．
已知数列an的前n项和为Sn．
（Ⅰ）若数列an是等比数列，满足2a1+a3=3a2，a3+2是a2，a4的等差中项，求数列an的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列ann∈N*，使对任意n∈N*都有an•Sn=2n2(n+1)？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．

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