Question

3．若正数a，b满足2a+b=1，则$\frac{a}{2-2a}$+$\frac{b}{2-b}$的最小值是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设u=2-2a，v=2-b，则a=$\frac{2-u}{2}$，b=2-v，u+v=3，（u，v＞0），再由乘1法，运用基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：设u=2-2a，v=2-b，则a=$\frac{2-u}{2}$，b=2-v，
u+v=3，（u，v＞0），
即有$\frac{a}{2-2a}$+$\frac{b}{2-b}$=$\frac{1-\frac{1}{2}u}{u}$+$\frac{2-v}{v}$
=$\frac{1}{u}$+$\frac{2}{v}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}$（u+v）（$\frac{1}{u}$+$\frac{2}{v}$）-$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{3}$（3+$\frac{v}{u}$+$\frac{2u}{v}$）-$\frac{3}{2}$≥$\frac{1}{3}$（3+2$\sqrt{\frac{v}{u}•\frac{2u}{v}}$）-$\frac{3}{2}$
=1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．
当且仅当v=$\sqrt{2}$u=6-3$\sqrt{2}$时，取得最小值．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：最值的求法，注意运用乘1法，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．