Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0 （n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）将数列的已知条件利用等比数列的性质，用解方程组求出a₃，a₅，进而求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式．
（2）求出数列{b_n}的通项，利用等差数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和，进而通过b_n的正负来寻找T_n与S_n的关系．

解答：解：（1）∵{a_n} 为等比数列，∴a1a5=a32，a2a8=a52，
∴由题意得a32+2a3a5+a52=25，
即(a3+a5)2=25，∴a₃+a₅=±5，
又∵a_n＞0，∴a₃+a₅＞0，∴a₃+a₅=5，
又 与a₅ 的等比中项为2．∴a₃a₅=4，
∴a₃=1，a₅=4 或a₃=4，a₅=1，
又∵q∈（0，1），∴a₃=4，a₅=1，q2=

1

4

，即q=

1

2

，
∴a₁=16，
∴an=a1qn-1=16(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5=25-n．
（2）b_n=log₂a_n=5-n，
∵b_n+1-b_n=-1，
∴{b_n} 是等差数列，则其前n 的和为Sn=-

1

2

n2+

9

2

n 

又∵当n≤5，n∈N^*时，b_n≥0；
当n＞5，n∈N^*时，b_n＜0，
∴当n≤5，n∈N^*时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+…+b_n 
=Sn=-

1

2

n2+

9

2

n，
当n＞5，n∈N^*时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅-b₆-b₇-…-b_n 
=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n 
=

1

2

n2-

9

2

n+20 
∴T_n=

- 1 2 n2+ 9 2 n，(n≤5) 1 2 n2- 9 2 n+20，(n＞5)

，n∈N^*．

点评：解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题，常利用它们的通项公式、前n项和公式列出方程组，通过解方程组求出通项和公差、公比再求其他量即可，属中档题．