Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=

2

．
（Ⅰ）求证：PA₁⊥BC；
（Ⅱ）求证：PB₁∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求V_A1-ADC1．

Answer 1

分析：（I）取B₁C₁的中点Q，连接A₁Q，PQ．利用等腰三角形底边上的性质可得A₁Q⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁，利用线面垂直的判定定理可得B₁C₁⊥平面PQA₁，即可得到结论；
（II）连接BQ，在△PB₁C₁中，由PB₁=PC₁=

2

，B₁C₁=2，Q为B₁C₁的中点，可得PQ=1，BB₁=PQ，BB₁∥PQ．得到四边形BB₁PQ为平行四边形．于是PB₁∥BQ．又BQ∥DC₁，利用平行线的传递性可得PB₁∥DC₁，再利用线面平行的判定定理即可得到PB₁∥平面AC₁D．
（III）作DE⊥AC，则DE⊥平面AA₁C₁，DE=DC•sin60°=

3

2

．即可得到S△AA1C1，根据VA1-AC1D=VD-AA1C1=

1

3

×S△AA1C1×DE即可得到体积．

解答：（I）证明：取B₁C₁的中点Q，连接A₁Q，PQ．
∵A₁B₁=A₁C₁，PB₁=PC₁，∴A₁Q⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁，
又PQ∩A₁Q=Q，∴B₁C₁⊥平面PQA₁，
∴BC⊥PA₁．
（II）证明：连接BQ，在△PB₁C₁中，∵PB₁=PC₁=

2

，B₁C₁=2，Q为B₁C₁的中点，
∴PQ=1，BB₁=PQ，BB₁∥PQ．
∴四边形BB₁PQ为平行四边形．
∴PB₁∥BQ．又BQ∥DC₁，
∴PB₁∥DC₁，
∵PB₁?平面AC₁D，DC₁?平面AC₁D，
∴PB₁∥平面AC₁D．
（III）解：作DE⊥AC，则DE⊥平面AA₁C₁，DE=DC•sin60°=

3

2

．
S△AA1C1=

1

2

×2×1=1．
∴VA1-AC1D=VD-AA1C1=

1

3

×S△AA1C1×DE=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．

点评：本题综合考查了线面平行于垂直的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、三棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．