题目内容
某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（ 例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为| 1 |
| 10 |
| 1 |
| 15 |
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记ξ路线A→（3）C→（4）F→（5）B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．
分析：（1）记路段MN发生堵车事件为MN，根据各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1=1-P（
•
•
），同理得路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2=
1-P（
•
•
），路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3=1-P（
•
•
），然后比较即可；
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，然后利用互斥事件与对立事件的公式分别求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．
. |
| AC |
. |
| CD |
. |
| DB |
1-P（
. |
| AC |
. |
| CF |
. |
| FB |
. |
| AE |
. |
| EF |
. |
| FB |
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，然后利用互斥事件与对立事件的公式分别求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1-P（
•
•
）=1-P（
）•P（
）•P （
）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-
•
•
=
；
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为
1-P（
•
•
）=
（小于
）；
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为
1-P（
•
•
）=
（大于
）
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（
•
•
）=
，
P（ξ=1）=P（AC•
•
）+P（
•CF•
）+P（
•
•FB）
=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
，
P（ξ=2）=P（AC•CF•
）+P（AC•
•FB）+P（
•CF•FB）
=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
，
P（ξ=3）=P（
•
•
）=
×
×
=
．
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
答：路线A→C→FB中遇到堵车次数的数学期望为
．
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1-P（
. |
| AC |
. |
| CD |
. |
| DB |
. |
| AC |
. |
| CD |
. |
| DB |
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-
| 9 |
| 10 |
| 14 |
| 15 |
| 5 |
| 6 |
| 3 |
| 10 |
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为
1-P（
. |
| AC |
. |
| CF |
. |
| FB |
| 239 |
| 800 |
| 3 |
| 10 |
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为
1-P（
. |
| AE |
. |
| EF |
. |
| FB |
| 91 |
| 300 |
| 3 |
| 10 |
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（
. |
| AC |
. |
| CF |
. |
| FB |
| 561 |
| 800 |
P（ξ=1）=P（AC•
. |
| CF |
. |
| FB |
. |
| AC |
. |
| FB |
. |
| AC |
. |
| CF |
=
| 1 |
| 10 |
| 17 |
| 20 |
| 11 |
| 12 |
| 9 |
| 10 |
| 3 |
| 20 |
| 11 |
| 12 |
| 9 |
| 10 |
| 17 |
| 20 |
| 1 |
| 12 |
| 637 |
| 2400 |
P（ξ=2）=P（AC•CF•
. |
| FB |
. |
| CF |
. |
| AC |
=
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 20 |
| 11 |
| 12 |
| 1 |
| 10 |
| 17 |
| 20 |
| 1 |
| 12 |
| 9 |
| 10 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 12 |
| 77 |
| 2400 |
P（ξ=3）=P（
. |
| AC |
. |
| CF |
. |
| FB |
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 12 |
| 3 |
| 2400 |
∴Eξ=0×
| 561 |
| 800 |
| 637 |
| 2400 |
| 77 |
| 2400 |
| 3 |
| 2400 |
| 1 |
| 3 |
答：路线A→C→FB中遇到堵车次数的数学期望为
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件和离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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，路段CD发生堵车事件的概率为
）.
，路段CD发生堵车事件的概率为115).
，路段CD发生堵车事件的概率为
）．