Question

（文）斜率为1的直线过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线交于两点A、B．
（1）求|AB|的值；
（2）将直线AB按向量平移得直线m，N是m上的动点，求的最小值．
（3）设C（2，0），D为抛物线y²=4x上一动点，证明：存在一条定直线l：x=a，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长为定值，并求出直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用直线方程的点斜式写出直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，再代入弦长公式，就可求出|AB|的值．
（2）利用向量平移公式求出直线AB平移后的方程，设出动点N的坐标，代入，利用（1）中所求x₁+x₂，x₁x₂，化简，再用二次函数求最值的方法求出最小值．
（3）先假设存在一条定直线l：x=a，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长为定值，设出直线l与以CD为直径的圆的交点为P，Q，则动圆圆心到P，Q的距离都等于CD距离的一半，再求出动圆圆心到直线l的距离，利用圆中半径，弦心距，半弦满足勾股定理，计算出半弦，看是否为常数，若是，则假设正确，若不是，则假设不正确．再根据求出的a值，写出直线l的方程即可．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0
则x₁+x₂=6，由定义可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．
（2）由（1）可设N（x，x+1），
则
即
由x₁+x₂=6，x₁x₂=1，y₁y₂=-4，y₁+y₂=4
则
当x=2时，的最小值为-14．                              
（3）设CD的中点为O'，l与以CD为直径的圆相交于点P、Q，
设PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，O'点的坐标为．
∵，
，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=
=（a-1）x₁-a²+2a，∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[（a-1）x₁-a²+2a]．                         
令a-1=0，得a=1，此时|PQ|=2为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为x=1，即抛物线的通径所在的直线．
点评：本题主要考查了直线与抛物线相交时弦长的求法，直线与圆相交时弦长的求法，其中注意韦达定理的应用．