Question

椭圆G:=1(a＞b＞0)的两个焦点F₁(-c,0)、F₂(c,0),M是椭圆上一点,且满足F₁M·F₂M=0.

(1)求离心率e的取值范围.

(2)当离心率e取得最小值时,点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为.

①求此时椭圆G的方程;

②(理)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点P(0,)、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.

(文)设斜率为1的直线与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,点P的坐标为(0),若直线PQ垂直平分弦AB,求AB所在的直线方程.

Answer 1

答案：解:(1)设M(x₀,y₀),∵M∈G,∴=1.①

又=0,∴(x₀+c,y₀)·(x₀-c,y₀)=0.② 

由②得y₀²=c²-x₀²代入①式整理,得x₀²=a²(2).又0≤x₀²≤a²,∴0≤a²(2)≤a².解得()²≥,即e²≥.又0＜e＜1,∴e∈［,1).

(2)①当e=时,设椭圆G方程为,

设H(x,y)为椭圆上一点,则|HN|²=x²+(y-3)²=-(y+3)²+2b²+18,其中-b≤y≤b.若0＜b＜3,则当y=-b时,|HN|²有最大值b²+6b+9.由b²+6b+9=50,得b=-3±(舍去);

若b≥3,当y=-3时,|HN|²有最大值2b²+18.由2b²+18=50,得b²=16.∴所求椭圆方程为.

②(理)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、Q(x₀,y₀),则由两式相减,得x₀+2ky₀=0,③ 

又直线PQ⊥直线l,∴直线PQ方程为y=,将点Q(x₀,y₀)代入上式,得y₀=.④ 

由③④,得Q().

方法一:而Q点必在椭圆内部,∴＜1.由此得k²＜.又k≠0,∴＜k＜0或0＜k＜.故当k∈(,0)∪(0,)时,A、B两点关于过点P、Q的直线对称.

方法二:∴AB所在直线方程为y+=k(xk).

由得(1+2k²)x²k(1+2k²)x+(1+2k²)²-32=0.

显然1+2k²≠0,而Δ=［k(1+2k²)］²-4(1+2k²)［(1+2k²)²-32］=-4(1+2k²)［(1+2k²)-32］.

∵直线l与椭圆有两个不同的交点A、B，∴Δ＞0.解得k²＜.又k≠0,∴＜k＜0或0＜k＜.故当k∈(,0)∪(0,)时,A、B两点关于过点P、Q的直线对称.

另解:设直线l的方程为y=kx+b,由得(1+2k²)x²+4kbx+2b²-32=0.(*)

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、Q(x₀,y₀),则x₀=,y₀=kx₀+b=.③

又直线PQ⊥直线l,∴直线PQ的方程为y=.将Q(x₀,y₀)代入上式,得y₀=x₀+.④

将③代入④,得b=-(1+2k²).⑤ 

∵x₁、x₂是(*)的两根,∴Δ=(4kb)²-4(1+2k²)(2b²-32)=8×16(1+2k²)-8b²≥0.⑥ 

⑤代入⑥,得k²＜.

又k≠0,∴当k∈(,0)∪(0,)时,A、B两点关于过点P、Q的直线对称.

(文)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、Q(x₀,y₀),则由,两式相减,得x₀+2y₀=0.③ 

又直线PQ⊥直线l,∴直线PQ的方程为y=-x+.将点Q(x₀,y₀)代入上式,得y₀=-x₀+.④

由③④,得Q(,-),

∴直线AB的方程为y+=1×(x),即x-y-=0.

另解:设直线l的方程为y=x+b,由,得3x²+4bx+2b²-32=0.(*)

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、Q(x₀,y₀),则x₀=,y₀=x₀+b=.③ 

又直线PQ⊥直线l,∴直线PQ的方程为y=-x+.将Q(x₀,y₀)代入上式,得y₀=-x₀+.④

将③代入④,得b.

此时,Δ=(4b)²-4×3(2b²-32)=-8b²+12×32=300＞0.

∴b=符合要求.

∴直线AB的方程为y=x,即x-y=0.