Question

已知函数f（x）=x²+ax+2ln（x-1），a是常数。
（1）证明曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线经过y轴上一个定点；
（2）若f′（x）＞（a-3）x²对x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围；（参考公式：3x³-x²-2x+2=（x+1）（3x²-4x+2））
（3）讨论函数f（x）的单调区间。

Answer 1

解：（1），
f'（2）=6+a，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为y-（2a+4）= （6+a）（x-2）
当x=0时，由切线方程得y=-8，
所以切线经过y轴上的定点（0，-8）。
（2）由f'（x）>（a-3）x²得

对
所以
设
则
g（x）在区间（2，3）上单调递减
所以
则a的取值范围为。
（3）函数的定义域为（1，+∞）

若a≥-6，则f'（x）≥0，f（x）在定义域（1，+∞）上单调递增；
若a＜-6，解方程
得


x₁>x₂>1，当x>x₁或1＜x＜x₂时，f'（x）>0；
当x₂＜x＜x₁时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（1，x₂）和（x₁，+∞），单调减区间是[x₂，x₁]。