Question

（本题满分10分）某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第()站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站(胜利大本营)或第站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为．

(1) 求P₀，P_l，P₂；

（2）写出与的递推关系；

(3) 求证：玩该游戏获胜的概率小于．

Answer 1

(10分)解：(1)依题意，得   P₀=1，P₁=，=       3分.

(2)依题意，棋子跳到第n站(2≤n≤m)有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为

∴                             3分

（3）

即                        2分

可知数列{}(1≤n≤99)是首项为公比为的等比数列，于是有

=

因此，玩该游戏获胜的概率小于.                      2分