Question

已知：三个定点，动P点满足，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线3x-3my-2=0截动点P的轨迹所得弦长为2，求m的值；
（3）是否存在常数λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得：，所以动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线的右支，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）法一：若m=0，则x=．此时y=±1，即弦长为2，满足题意．若m≠0，由，得，由此能推导出m=0．
法二：设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B，由双曲线定义知|Q₁Q₂|=e（）=2（）=2，由此能求出m=0．
（3）当x=时，|BP|=1，|BC|=1，此时∠PCB=45°，∠PBC=90°，猜想λ=2．当x≠时，设P（x，y），则，且tan∠PCB=，由此能够推导出存在λ=2，使得∠PBC=λ∠PCB．
解答：解：（1）∵三个定点，动P点满足，
∴，
∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线的右支…（1分）
设它的方程为，（x＞a），
则，解得：，
故所求方程为=1．（x＞0）．…（4分）
（2）解法一：若m=0，则x=．
此时y=±1，即弦长为2，满足题意．…（5分）
若m≠0，由，消去y，得，
化简得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，


解得m=0，或m=±1．
∵m=±1时，x₁x₂＜0不满足．
∴m=0…（7分）
解法二：设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B
∴由双曲线定义知|Q₁Q₂|=e（）=2（）=2．
∴
若m=0，则，此时x₁+x₂=满足．…（5分）
若m≠0，由，消去y得，
化简得：．
解得m=0与m≠0矛盾．∴m=0…（7分）
（直接由图形得出m=0时，|Q₁Q₂|=2，得2分）
（3）当x=时，|BP|=1，|BC|=1，
此时∠PCB=45°，∠PBC=90°．
猜想λ=2…（8分）
当x≠时，设P（x，y），则，
且tan∠PCB=，
∴，
而，
∴tan2∠PCB=tan∠PBC，
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π，
∴2∠PCB=∠PBC，
即存在λ=2，
使得：∠PBC=λ∠PCB．…（10分）
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数值的求法，探索满足条件的实数的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．