Question

若数列{a_n}满足数列{an}满足a1=2，an+1=

1+an

1-an

(n∈N*)，则该数列的前2013项的乘积

2

．

Answer 1

分析：先由a₁=2，an+1=

1+an

1-an

推得数列的周期，利用数列的周期性可求得答案．

解答：解：由a₁=2，an+1=

1+an

1-an

，得
an+4=

1+an+3

1-an+3

=

1+ 1+an+2 1-an+2

1- 1+an+2 1-an+2

=-

1

an+2

=-

1

1+an+1 1-an+1

=-

1-an+1

1+an+1

=-

1- 1+an 1-an

1+ 1+an 1-an

=a_n，
∴4为数列{a_n}的周期，
又a2=

1+a1

1-a1

=

1+2

1-2

=-3，a3=

1+a2

1-a2

=

1+(-3)

1-(-3)

=-

1

2

，a4=

1+a3

1-a3

=

1- 1 2

1-(- 1 2 )

=

1

3

，
∴a₁a₂a₃a₄=2×(-3)×(-

1

2

)×

1

3

=1，
∴该数列的前2013项的乘积为：(a1a2a3a4)503•a1=2，
故答案为：2．

点评：本题考查数列递推式及数列的函数特性，属中档题，解决本题的关键是利用递推式推导数列的周期．