Question

已知函数f（x）=，x∈［1，＋∞．

（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈［1，＋∞，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）当a=时，f（x）=x＋＋2， ∵f（x）在区间［1，＋∞）上为增函数， ∴f（x）在区间［1，＋∞）上的最小值为f（1）=． （2）方法一：在区间［1，＋∞）上，f（x）=＞0恒成立 x2＋2x＋a＞0恒成立. 设y=x2＋2x＋a，x∈［1，＋∞）， y=x2＋2x＋a=（x＋1）2＋a－1递增，∴当x=1时，ymin=3＋a， 于是当且仅当ymin=3＋a＞0时，函数f（x）恒成立，故a＞－3． 方法二：f（x）=x＋＋2，x∈［1，＋∞）， 当a≥0时，函数f（x）的值恒为正，当a＜0时，函数f（x）递增， 故当x=1时，f（x）min=3＋a，于是当且仅当 f（x）min=3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3. 方法三：在区间［1，＋∞上f（x）=x恒成立x2＋2x+a＞0恒成立 提示：