题目内容

已知椭圆C₁： $数学公式$ =1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²- $数学公式$ =1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则

A.
a²= $数学公式$
B.
a²=3
C.
^_b2= $数学公式$
D.
^_b2=2

C
分析：先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a²-b²=5；设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程得： $\text{[math]}$ ；对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2 $\text{[math]}$ x，根据C₁恰好将线段AB三等分得：2 $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，从而可解出a²，b²的值，故可得结论
解答：由题意，C₂的焦点为（± $\text{[math]}$ ，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C₁的半焦距c= $\text{[math]}$ ，于是得a²-b²=5 ①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程得： $\text{[math]}$ ②，
由对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2 $\text{[math]}$ x，
由题得：2 $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ③
由②③得a²=11b² ④
由①④得a²=5.5，b²=0.5
故选C
点评：本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎．

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已知椭圆C₁：=1,抛物线C₂：(y-m)²=2px(p＞0),且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

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(2)若p=且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

已知椭圆C₁：

=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-

=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（）
A．a²=

B．a²=3
C．^_b2=

已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为

，F₁、F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C₁的方程；（ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C₁上有两点P、Q，满足MF₂与

=0，求四边形PMQN面积的最小值．

已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且

（I）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程．

已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，直线l：x-y+

=0与椭圆C₁相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直与椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
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