题目内容
【题目】设椭圆C： 
的离心率e= 
，左顶点M到直线 
=1的距离d= 
，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；
（3）在（2）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．
【答案】
（1）解：由已知得 
，又a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，c= 
，
∴椭圆C的方程为 
．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1=x2，y1=﹣y2，
∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴ 
=0，
∴x1x2+y1y2=0，∴ 
，
又点A在椭圆C上，∴ 
=1，
解得|x1|=|y1|= 
．
此时点O到直线AB的距离 
．
②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，
联立 
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
∴ 
， 
，
∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，
∴ =x1x2+y1y2=0，
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴（1+k2） 
，
整理，得5m2=4（k2+1），
∴点O到直线AB的距离 
= ，
综上所述，点O到直线AB的距离为定值 ．
（3）解：设直线OA的斜率为k0，
当k0≠0时，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣ 
，
联立 
，得 
，同理，得 
，
∴△AOB的面积S= 
=2 
，
令1+ 
=t，t＞1，
则S=2 
=2 
，
令g（t）=﹣ 
+ 
+4=﹣9（ 
）2+ 
，（t＞1）
∴4＜g（t） 
，∴ 
，
当k0=0时，解得S=1，
∴ 
，∴S的最小值为 
【解析】（1）由已知得 ，又a2=b2+c2 ， 由此能求出椭圆C的方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2=0，点O到直线AB的距离为 ．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为 ，由此能证明点O到直线AB的距离为定值 ．（3）设直线OA的斜率为k0 ， OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣ ，联立 ，得 ，同理，得 ，由此能求出△AOB的面积S的最小值．
