Question

【题目】如图，三棱柱中，侧棱底面， ， ， 是棱的中点.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求平面将此三棱柱分成的两部分的体积之比.

Answer 1

【答案】（1）平面平面；（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）通过线面垂直可得，运用勾股定理可得，由线面垂直判定定理可得平面，由面面垂直判定定理得结论；（Ⅱ）平面将三棱柱分成上、下两部分，其上面部分几何体为四棱锥，下面部分几何体为四棱锥，分别计算出其体积即可.

试题解析：（Ⅰ）在三棱柱中，有，

又因为， ，

所以平面，

因为平面，

所以，

由， ， 是棱的中点.

所以， ，

则 ，

所以，

因，

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）平面将三棱柱分成上、下两部分，其上面部分几何体为四棱锥，下面部分几何体为四棱锥.

在平面中，过点作，垂足为，则平面，

所以是四棱锥的高，

在中，因为，所以.

为直角梯形，其面积 ，

所以四棱锥的体积 .

因三棱柱的体积 ，

所以下部分几何体的体积 ，

所以两部分几何体的体积之比为.