Question

在△ABC中，cosA=

5

5

，cosB=

10

10

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设AB=

2

，求AB边上的高．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosA和cosB的值都大于0，得到A和B都为锐角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和sinB的值，由A+B+C=π，得到C=π-（A+B），表示出cosC，代换后，利用诱导公式及两角和的余弦函数公式化简，再把各自的值代入即可求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由AB，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出AC的值，最后利用锐角三角函数的定义，在直角三角形中，表示出sinA等于AB边上的高比上AC，即可得到高等于ACsinA，即可求出高的值．

解答：解：（Ⅰ）由cosA=

5

5

，cosB=

10

10

，得A、B∈(0，

π

2

)，
所以sinA=

2 5

5

，sinB=

3 10

10

．（3分）
因为cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

2

2

，（6分）
且0＜C＜π，故C=

π

4

．（7分）
（Ⅱ）∵AB=

2

，sinC=

2

2

，sinB=

3 10

10

，
根据正弦定理得

AB

sinC

=

AC

sinB

⇒AC=

AB•sinB

sinC

=

6

10

=

3 10

5

，（10分）
所以AB边上的高为AC•sinA=

6 2

5

．（12分）

点评：此题考查了同角三角函数的基本关系，正弦定理，诱导公式及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，做题时注意角度的范围．