Question

已知函数f（x）=x²+alnx的图象与直线l：y=-2x+c相切，切点的横坐标为1．
（1）求函数f（x）的表达式和直线l的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若不等式f（x）≥2x+m对f（x）定义域内的任意x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用导数的几何意义求直线方程．
（2）利用导数求函数的单调区间．
（3）将不等式转化为最值恒成立，然后利用导数求函数的最值．

解答：解：（1）因为f′(x)=2x+

a

x

，所以-2=f'（1）=2+a，所以a=-4
所以f（x）=x²-4lnx…（2分）
所以f（1）=1，所以切点为（1，1），所以c=3
所以直线l的方程为y=-2x+3…（4分）
（2）因为f（x）的定义域为x∈（0，+∞）所以由f′(x)=

2x2-4

x

＞0得x＞

2

…（6分）
由f′(x)=

2x2-4

x

＜0得0＜x＜

2

…（7分）
故函数f（x）的单调减区间为(0，

2

)，单调增区间为(

2

，+∞)…（8分）
（3）令g（x）=f（x）-2x，则g′(x)=2x-

4

x

-2＞0(x＞0)得x＞2
所以g（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数…（10分）
g（x）_min=g（2）=-4ln2，所以m≤g（x）_min=-4ln2…（11分）
所以当f（x）≥2x+m在f（x）的定义域内恒成立时，实数m的取值范围是（-∞，-4ln2]…（12分）

点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握函数的单调性、最值和极值与导数的关系．