Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x≤1}\\{{x}^{2}-3ax+4a，x＞1}\end{array}\right.$有三个不同零点，则a的范围是（　　）

• A． $（{\frac{16}{9}，2}）$
• B． $（{\frac{16}{9}，+∞}）∪（{-∞，0}）$
• C． $（{\frac{16}{9}，2}]$
• D． $（{\frac{2}{3}，2}]$

Answer 1

分析 由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．

解答 解：由题意可知：函数图象的x≤1的部分为单调递增指数函数的部分，
函数图象的x＞1部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=$\frac{3a}{2}$，最多两个零点，
如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，
由指数函数x=1时过点（1，2），故需下移至多2个单位，故0＜a≤2，
还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点$\frac{16a-9{a}^{2}}{4}$＜0，
f（1）=1+a＞0，$\frac{3a}{2}＞1$，
解得$\frac{16}{9}$＜a≤2，
故选：C．

点评 本题考查根的存在性及根的个数的判断，函数与方程的综合应用，数形结合是解决问题的关键，属中档题．