Question

【题目】如图，三棱柱中，，为四边形对角线交点，为棱的中点，且平面.

（1）证明：平面；

（2）证明：四边形为矩形.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）取中点，连结，由题意且，证出，且，进而可得，利用线面平行的判定定理即可证出.

（2）首先证出，利用线面垂直的性质定理证出，再利用线面垂直的判定定理证出平面，从而可证出，根据，即证.

证明：（1）取中点，连结.

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

且.

因为为平行四边形对角线的交点，所以为中点，

又为中点，所以，且.

又，，所以，且.

又为中点，所以，且，

所以为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面：

（2）因为，为中点，所以，

又因为平面，平面，所以.

因为，，平面，平面，，

所以平面.

又平面，所以，

又由（1）知，所以，

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

所以四边形为矩形.