题目内容

当n∈N*时,试比较an=2n与bn=n2的大小.

      

解析:a1=2,b1=1,∴a1>b1;?

       a2=4,b2=4,∴a2=b2;?

       a3=8,b3=9,∴a3<b3;?

       a4=16,b4=16,∴a4=b4;?

       a5=32,b5=25,∴a5>b5;?

       a6=64,b6=36,∴a6>b6.?

       猜想:n≥5时,an>bn(以下用数学归纳法证明当n≥5时,an>bn).?

       (1)当n=5时,a5=32,b5=25,a5>b5成立.?

       (2)假设当n=k(k∈N*,k≥5)时,有ak>bk,即2k>k2(k≥5),?

       因此ak+1-bk+1=2k+1-(k+1)2=2·2k-(k2+2k+1)>2k2-(k2+2k+1)?

       =k2-2k-1=(k-1)2-2.?

       ∵k≥5,∴(k-1)2≥16.?

       ∴(k-1)2-2>0,即ak+1>bk+1?.?

       这表明当n=k+1时,ak+1>bk+1.?

       根据(1)(2)可知,当n≥5(n∈N*)时an>bn.?

       综上可知,当n=2,4时,an=bn;当n=3时,an<bn;当n=1或n≥5时,an>bn.

练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=ln
x+1
x-1

（Ⅰ）求函数的定义域，并证明f(x)=ln
x+1
x-1
在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）若x∈[2，6]，f(x)=ln
x+1
x-1
＞ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当n∈N*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n2的大小关系．
已知函数。
（1）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（2）对于x∈[2，6]，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）当n∈N*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n2的大小关系。
已知函数
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）若x∈[2，6]恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当n∈N*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n2的大小关系．
已知函数
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）若x∈[2，6]恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当n∈N*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n2的大小关系．
已知函数
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）若x∈[2，6]恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当n∈N*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n2的大小关系．

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