Question

已知函数f(x)=ln

x+1

x-1

（Ⅰ）求函数的定义域，并证明f(x)=ln

x+1

x-1

在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）若x∈[2，6]，f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当n∈N^*时，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n²的大小关系．

Answer 1

分析：（I）令对手的真数大于0，求出定义域，求出f（-x），判断f（-x）与f（x）的关系，判断出奇偶性．
（II）先利用对数函数的单调性得到真数的大小，将m分离出来，构造新函数g（x），求出二次函数g（x）的最小值，令m小于最小值．
（III）构造函数h（x），通过导数，求出h（x）的最大值，证出要证的不等式．

解答：解：（Ⅰ）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f(-x)=ln

-x+1

-x-1

=ln

x-1

x+1

=ln(

x+1

x-1

)-1=-ln

x+1

x-1

=-f(x)
∴f(x)=ln

x+1

x-1

在定义域上是奇函数．（4分）
（Ⅱ）由x∈[2，6]时，f(x)=ln

x+1

x-1

＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

＞0，∵x∈[2，6]
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，x∈[2，6]时，g（x）_min=g（6）=7
∴0＜m＜7（8分）
（Ⅲ）f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=ln

3

1

×

5

3

×…×

2n+1

2n-1

=ln(2n+1)
构造函数h(x)=ln(1+x)-(x+

x2

2

)(x＞0)，
h′(x)=

1

x+1

-x-1=

-x2-2x

x+1

当x＞0时，h'（x）＜0，∴h(x)=ln(1+x)-(x+

x2

2

)在（0，+∞）单调递减，
∴…h（x）＜h（0）=0（12分）
当x=2n（n∈N^*）时，ln（1+2n）-（2n+2n²）＜0∴ln（1+2n）＜2n+2n²（14分）

点评：解决不等式恒成立问题，常采用分离参数，转化为求函数的最值；证明不等式常通过构造函数，求函数的最值来解决．