Question

设a为实数，函数f(x)=x²+|x－a|+1,x∈R.

(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值. 

Answer 1

(1) f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2) ，当a≤－时，函数f(x)的最小值是－a,当－＜a≤时，函数f(x)的最小值是a²+1;当a>时，函数f(x)的最小值是a+.

解析:

  (1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a²+1,f(－a)=a²+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a)  此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(2)①当x≤a时，函数f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+,若a≤,则函数f(x)在(－∞,a上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞,a上的最小值为f(a)=a²+1.

若a>,则函数f(x)在(－∞,a上的最小值为f()=+a,且f()≤f(a).

②当x≥a时，函数f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+;

当a≤－时，则函数f(x)在［a,+∞上的最小值为:

f(－)=－a,且f(－)≤f(a).

若a>－,?则函数f(x)在［a,+∞)上单调递增，

从而，函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a²+1.

综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值是－a,

当－＜a≤时，函数f(x)的最小值是a²+1;

当a>时，函数f(x)的最小值是a+.