Question

选修4-5：不等式选讲．
已知函数f(x)=

x

e

+

1

ex

（e≈2.718…）
（ I）若x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂．求证：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0；
（ II）若满足f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）．试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（ I）根据函数f（x）的表达式化简

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

x2+ 1 x2 -x1- 1 x1

e(x2-x1)

=

(1- 1 x1x2 )(x2-x1)

e(x2-x1)

=

1

e

(

x1x2-1

x1x2

)，再结合条件即可证得

f(x2)-f(x)

x2-x1

＞0；
（ II）由（ I）可知，f（x）在[1，+∞）为单调增函数．根据|a|+3＞1，|a-4|+1≥1且f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）得出|a|+3＞|a-4|+1，下面对a分类讨论：当a≤0时；当0＜a＜4时；当a≥4时．即可得出实数a的取值范围．

解答：解：（I）

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

x2+ 1 x2 -x1- 1 x1

e(x2-x1)

=

(1- 1 x1x2 )(x2-x1)

e(x2-x1)

=

1

e

(

x1x2-1

x1x2

)…（2分）
∴x₁x₂＞1＞0，∴

x1x2-1

x1x2

＞0，
∵x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂
∴

f(x2)-f(x)

x2-x1

＞0…（5分）
（II）由（ I）可知，f（x）在[1，+∞）为单调增函数．
∵|a|+3＞1，|a-4|+1≥1且f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）
∴|a|+3＞|a-4|+1…（7分）
当a≤0时，-a+3＞4-a+1，
∴3＞5，∴a∈∅；
当0＜a＜4时，a+3＞4-a+1，
∴a＞1，∴1＜a＜4；
当a≥4时，a+3＞a-4+1，
∴3＞-3，∴a≥4
综上所述：a＞1…（10分）

点评：本题考查了函数单调性的性质，以及证明不等式，有一定的难度，是一道很好的中档题．