Question

已知函数f(x)=4x³+ax²+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x.

(1)求函数f(x)的解析式；

（2）求函数f(x)在［-3，1］上的最值.

Answer 1

解：(1)∵f′(x)=12x²+2ax+b,而y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,

∴a=-3,b=-18.故f(x)=4x³-3x²-18x+5.

(2)∵f′(x)=12x²-6x-18=6(x+1)(2x-3),令f′(x)=0,解得x₁=-1,x₂=.那么f(x)的增减性及极值如下：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,)		(,+∞)
f′(x)的符号	+	0	-	0	+
f(x)的增减性	递增	极大值16	递减	极小值	递增

x₁=-1属于［-3，1］，且f(-1)=16,又f(-3)=-76,f(1)=-12,∴f(x)_max=16,f(x)_min=-76.