Question

已知直线x过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右焦点，交双曲线于A，B两点，若

|AB|

2a

的最小值为2，则其离心率为（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：利用双曲线的性质可求得

b2

a2

=2，从而可求得其离心率．

解答：解：∵直线x过

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点，交双曲线于A，B两点，
当且仅当过右焦点的直线与x轴垂直时，

|AB|

2a

最小，
又当过右焦点的直线AB与x轴垂直时，设A（c，y₀），
则

c2

a2

-

y02

b2

=1，
∴|y₀|=

b2

a

，
∴|AB|=2×

b2

a

，
∵

|AB|

2a

的最小值为2，
∴

b2

a2

=2，又a²+b²=c²，
∴

b2+a2

a2

=

c2

a2

=3，
即离心率e²=3，
∴e=

3

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的简单性质，由

|AB|

2a

的最小值为2，求得

b2

a2

=2是关键，考查分析、理解与应用双曲线的简单性质的能力，属于中档题．