Question

如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，
CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为
解答：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
∴AD==
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD²=SA²+SD²
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB
∴SD⊥平面SAB
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
则A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）
则
设平面SBC的一个法向量为
则，
即
取x=0，y=，z=1
即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）
又=（0，2，0）
sin＜，＞===
∴＜，＞=arcsin
即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin
点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．