Question

设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a²对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是

[-

1

3

，

1

3

]

．

Answer 1

分析：根据所给的含有绝对值的不等式，设出所给的两个变量之间的关系，对所给的绝对值不等式进行整理，得到最简形式，根据函数的思想f（x）＞m恒成立，只要m＜f（x）的最小值．

解答：解：取k∈R，令x=

1

2

ka，则原不等式为|ka-a|+|

3

2

ka-2a|≥|a|²，即|a||k-1|+

3

2

|a||k-

4

3

|≥|a|²
由此易知原不等式等价于|a|≤|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|，对任意的k∈R成立．
由于|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|=

5 2 k-3，k≥ 4 3 1- 1 2 k，1≤k＜ 4 3 3- 5 2 k，k＜1

∵y=

5

2

k-3，在k≥

4

3

时，y≥

1

3

y=1-

1

2

k，在1≤k＜

4

3

时，

1

3

≤y＜

1

2

y=3-

5

2

k，k＜1时，y＞

1

2

所以|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|的最小值等于

1

3

，
从而上述不等式等价于|a|≤

1

3

．
故答案为：[-

1

3

，

1

3

]

点评：本题考查函数的恒成立问题，考查含有绝对值的不等式的整理，考查函数的综合题目中常用的解题思想，f（x）＞m恒成立，只要m＜f（x）的最小值，本题解题的关键是求出函数的最小值，本题是一个难题．