Question

在如图所示的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.

（1）求AE与D₁F所成的角；

（2）证明平面AED⊥平面A₁FD₁.

Answer 1

解法一:(1)解:∵AC₁是正方体,

∴AD⊥面DC₁.

又D₁F面DC₁,∴AD⊥D₁F.

取AB的中点G，连结A₁G、FG.

∵F是CD的中点,∴GF、AD平行且相等，

即GFAD.

又A₁D₁AD,∴GFA₁D₁.

故GFD₁A₁是平行四边形,A₁G∥D₁F.

设A₁G与AE相交于点H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角.

∵E是BB₁的中点，∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE.

∴∠GA₁A=∠GAH.

从而∠AHA₁=90°,即直线AE与D₁F所成的角为直角.

(2)证明:由(1)知，AD⊥D₁F,AE⊥D₁F,

又AD∩AE=A,∴D₁F⊥平面AED.

又∵D₁F平面A₁FD₁,∴面AED⊥面A₁FD₁.

解法二:(1)解:如图所示建立空间坐标系，D为坐标原点.

设DC=a,依题意有

D(0,0,0),A(a,0,0),D₁(0,0,a),F(0, ,0).

=(0, ,-a),E(a,a, ),=(0,a, ).

·=0+a·+(-a)·=0,

∴AE、D₁F所成的角为90°.

(2)证明:同证法一.