Question

已知数列a_n、b_n中，对任何正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若数列a_n是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列b_n是等比数列；
（2）若数列b_n是等比数列，数列a_n是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
（3）若数列a_n是等差数列，数列b_n是等比数列，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求a_n=n，代入已知可得b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，则b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2）两式相减可求数列b_n
（2）同（1）可得，结合q的取值及等差数列的通项公式可求
（3）利用放缩不等式可证
解答：解：（1）依题意数列a_n的通项公式是a_n=n，
故等式即为b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），
两式相减可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1（3分）
得b_n=2^n-1，数列b_n是首项为1，公比为2的等比数列．（4分）
（2）设等比数列b_n的首项为b，公比为q，则b_n=bq^n-1，从而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2（6分）
，
要使a_n+1-a_n是与n无关的常数，必需q=2（8分）
即①当等比数列b_n的公比q=2时，数列a_n是等差数列，其通项公式是；
②当等比数列b_n的公比不是2时，数列a_n不是等差数列．（9分）
（3）由（2）知a_nb_n=n•2^n-1，（10分）
显然n=1，2时
当n≥3时
＜（14分）
==（16分）
点评：本题主要考查等差数列、等比数列通项公式及由数列的“和”转化为“项”的综合应用，考查运算能力和推理论证能力．解题中体现了分类讨论的思想在解题中的应用．