Question

已知函数f（x）=，a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，若不等式f（x）-k＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）对函数f（x）求导，令f′（x）=0得x=e^a，可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a；
（Ⅱ）由于不等式f（x）-k＜0等价于在（0，+∞）上恒成立，可设求出g（x）的最大值，即可得到k的范围．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．  
，令f′（x）=0得x=e^a     
当x∈（0，e^a），f′（x）＞0，f（x）为增函数；   
当x∈（e^a，+∞），f′（x）＜0，f（x）为为减函数，
可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a；
（Ⅱ）由于a=1，所以不等式f（x）-k＜0在区间（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
设
由（Ⅰ）知，g（x）在x=e处取得最大值，
∴．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．