Question

【题目】已知，若，，使成立，则实数的取值范围是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤f′（x）max+a”，利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．

若，，使成立，

等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤f′（x）max+a”，

当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，

f′（x）＝﹣a+＝﹣（﹣）2+﹣a，

f′（x）max+a＝，

问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤”，

①当﹣a≤﹣，即a≥时，

f′（x）＝﹣a+＝﹣（﹣）2+﹣a＜0，

f（x）在[e，e2]上为减函数，

则f（x）max＝f（e）＝e﹣ae＝e（1﹣a）≤，

∴a≥1﹣＝，

②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴∈[，1]，

∵f′（x）＝﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，

∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）＝0且满足：f（x）在[e，x0）递减，在（x0，e2]递增，

f（x）max＝f（e）或f（e2），而f（e2）＝﹣ae2，

故﹣ae2≤，解得：a≥﹣，无解舍去；

综上，实数a的取值范围为

故答案为：．