题目内容
三次 函数f（x）=mx3-x在（-∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是
- A.m＜0
- B.m＜1
- C.m≤0
- D.m≤1
A
分析：先求函数f（x）的导数，因为当函数为减函数时，导数小于0，所以若f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则f′（x）≤0在R上恒成立，再利用一元二次不等式的解的情况判断，来求m的范围．
解答：对函数f（x）=mx3-x求导，得f′（x）=3mx2-1
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴f′（x）≤0在R上恒成立
即3mx2-1≤0恒成立，
∴
，解得m≤0，
又∵当m=0时，f（x）=-x不是三次函数，不满足题意，
∴m＜0
故选A
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．
分析：先求函数f（x）的导数，因为当函数为减函数时，导数小于0，所以若f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则f′（x）≤0在R上恒成立，再利用一元二次不等式的解的情况判断，来求m的范围．
解答：对函数f（x）=mx3-x求导，得f′（x）=3mx2-1
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴f′（x）≤0在R上恒成立
即3mx2-1≤0恒成立，
∴
，解得m≤0，又∵当m=0时，f（x）=-x不是三次函数，不满足题意，
∴m＜0
故选A
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．
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三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．